注：本文作者是Gauntlet创始人Tarun Chitra、placeholder研究员Alex Evans以及斯坦福电气工程博士Guillermo Angeris，原文标题为《Can one hear the shape of a CFMM?(part 2)》

在本系列文章的第一篇，我们研究了恒定函数做市商（CFMM）的交易函数曲率是如何影响交易者行为的，我们还提到了我们将发布的论文《狗尾巴什么时候摇？曲率与做市》，其中会说明价格稳定性与曲率的关系。回想一下，非正式地说，CFMM交易函数的曲率描述了CFMM在一笔小交易后的报价绝对变化。当CFMM是主要市场时，一笔交易对相同资产的次级市场的影响，取决于两个市场的曲率比率。这说明了一个观点，即市场之间的价格稳定性与市场的曲率密切相关。而一个自然的问题是：为什么理性的流动性提供者（LP）选择将流动性放在主要市场或者次级市场？或者，他们是如何比较这些市场的回报的？

在这篇文章中，我们将着重从两个角度回答这些问题：

1. 证明LP在均值回归资产对的情况下能够获得最大的利润；

2. 在交易者掌握信息的情况下，衡量LP面临的逆向选择;

第二种情况下的LP收益，类似于Albert Kyle、Lawrence Glosten以及Paul Milgrom（2020年诺贝尔纪念奖得主）的经典市场微观结构结果。我们将证明，LP收益的这两个方面都与曲率密切相关。

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均值回归是最佳的

对于给定的价格变动，较低曲率的CFMM将给LP带来更大的损失。

同时，较低的曲率提供了较低的滑点，从而吸引更多的交易者和手续费收入。研究无常损失与费用之间的权衡，可以让LP优化其回报。而最优曲率将取决于市场的行为。在这里，我们可以选择两种模型：一种是对独立于市场机制的外部价格过程进行建模，另一种是直接对基础市场微观结构进行建模。

就前者而言，该过程的相关特征是相关性、波动性以及均值回归。

对于均值回归资产，“收益率最优”曲率通常较低。CFMM流动性提供者从均值回归中获利，因为储备金恢复到了以前的水平，而费用则是双向累积的。在强均值回归资产的情况下，无常损失的风险较低，流动性提供者（LP）可以提供较低的曲率来吸引交易者。最知名的例子就是Curve，其稳定币通常在1美元的价格附近徘徊，套利者很快就会纠正偏离这些水平的情况。因此，Curve提供了一种超低曲率的CFMM，它比Uniswap等同等的高曲率池吸引了更多的交易兴趣。只要稳定币继续回归至美元价值的平均值，Curve LP的表现将优于其它高曲率CFMM的LP。在我们的论文中，我们证明了一个简单的结果，即对于均值回归资产，要让LP获益，协议需收取的费用取决于曲率：

对于正的常数C > 0。

很多协议具有随时间变化的交易函数。在下面，我们看到了Yield协议（左）和Notional协议（右）的边际价格函数。

这两个协议旨在提供固定利率贷款并有效利用CFMM的曲率来控制用户的激励。在时间t，这些系统的用户有效地创建了在时间t + T到期的固定利率，零息债券。用户创建债券时，他们以低于1债券/ 1 Dai的价格铸造债券。用户可以在CFMM市场上用Dai交易债券，而Dai面临的滑点反映了提前赎回的成本。

这类似于在传统的回购协议市场中提前赎回债券。当我们接近时间t + T时，CFMM曲率会降低，从而激励用户关闭其债券（例如，将其交易为Dai）。到期时，该CFMM没有曲率，这意味着用户可以用1:1的比例兑换Dai。请注意，随着我们越来越接近到期日，这些CFMM的设计会鼓励均值回归（例如，达到1：1）。以上我们的结果表明，在设计这种机制时，还需要调整费用，以确保LP有利可图。

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市场微观结构

描述LP收益的另一种方法，是考虑LP、套利者和知情交易者之间博弈的预期利润。为了构建我们的游戏，我们首先从传统的市场微观结构文献中汲取灵感。在这些文献中，比如 Kyle的连续拍卖和内幕交易（1985），考虑了做市商与噪音和知情交易者之间的博弈。

在这些模型中，假设每个参与者都有一个策略来提供他们愿意交易的价格和数量。例如，知情交易者可能知道某项资产的每股收益在上升，并积极买入，直到新的市盈率与原来的相同。另一方面，做市商有一个策略来产生他们愿意在订单中报价的价格和数量，而噪音交易者购买的是完全随机的数量。在给定一组市场参与者策略的情况下，我们试图找出是否存在市场均衡，如果存在，我们是否可以计算它。

一般来说，由于计算复杂性和统计原因，在多人游戏中计算精确的均衡是相当困难的。然而，通过研究一个简化的博弈，我们可以获得足够的直觉来设计一个可估计现实均衡的数值模拟。这正是Kyle (1985) 和Glosten以及Milgrom (1984)考虑的只有三个参与者的博弈游戏。

在这些博弈中，通常通过对做市商实施零利润条件（一种无套利的弱形式）来实现均衡。零利润条件有效地代表了做市商的“收支平衡”点，并且是所收取的费用和知情交易者的信息优势的函数。

例如，如果知情交易者的信息优势较弱，那他们的交易看起来会像是“噪音”，而做市商则通过反复地跨越买/卖价差而赚钱，且价格看起来是弱均值回归的。另一方面，如果知情交易员是无所不知的，并且总是提前知道未来的价格变动，那么做市商需要更大的费用和更大的买卖差价以补偿不利于他们的交易。

在这种情况下，我们说做市商受知情交易者逆向选择的影响。实际上，做市商通过降低市场流动性来应对逆向选择的增加。Glosten（1994）指出，当你考虑那些在多个市场上报价的做市商时，订单簿的形状会影响流动性如何因逆向选择而变化。在下图中，我们看到一个订单簿有两个不同的形状，一个近似凹形和一种凸形。Glosten指出，对于流动性大、交易速度低的情况，凹形更好，而对于许多小订单和高交易速度的情况，凸形更好。

而据伯克利大学的Jun Aoyogi在最近的研究表明，通过考虑LP和知情交易者之间的一个简单的单周期博弈，可以为Uniswap找到与Kyle（1985）类似的结果。

他特别指出，只有在噪声交易者与Uniswap进行交易，并且费用能正确补偿噪声交易者造成的波动，LP才可能赚钱。此外，他还说明了价格稳定的结果（类似于我们在第一篇文章中介绍的内容）。但是，这些结果在很大程度上取决于Uniswap恒定乘积公式的简单函数形式。此外，这些结果未涵盖补偿逆向选择所需的费用的精确范围。对于其他CFMM，我们能否以更一般的方式将费用和逆向选择联系起来？

为此，我们在套利者、知情交易者和LP之间构建了一个不同的博弈。我们首先将知情交易者定义为在时间t时，知道资产价格在时间t+1, p(t+1)时的概率? > ½ 的参与者。

我们将知情交易者对p（t+1）的预测写成p_inf（t）。我们可想象成这是一个知情交易者在抛出一枚硬币，硬币正面落地的概率为?，反面落地的概率为1-?。如果是正面的，交易者会正确选择下一个价格。这个有洞察力的参与者在时间t与CFMM交易，在时间t+1时以概率?实现利润。另一方面，如果知情交易者输了，价格会恢复到时间t时的价值。示意图如下所示：

注意，当知情交易者亏损时，价格从p（t）变为p_inf（t），再回到p（t）。在这种“往返”交易序列中，流动性提供者获得的利润是费用和CFMM曲率的函数。这意味着我们可以查看流动性提供者的预期利润，PNL(curvature, fees) = ? * Loss(curvature, fees) + (1-?) * Profit(curvature, fees)。我们使用此预期利润条件查找当PNL(curvature, fees) > 0时的充分条件，并发现对于某些常数C> 0

这意味着，如果知情交易者是无所不知的（?=1）或费用为零，那么任何曲率都无法补偿LP的损失。另一方面，如果知情交易者基本上是一个噪音交易者（?≈½），则曲率可以较低，以使LP获利。

这一结果说明，与CFMM设计领域的常识不同，人们不仅需要获得最佳费用来最大化LP回报，而且还需要调整曲率。我们在现实情况中看到了许多这样的例子，例如Dodo和McDEX这样的保护性做市商加入了一个预言机，以响应主要市场（例如Uniswap或Coinbase）的交易来调整曲率。在Shell协议中，费用与曲率之间的关系是直接的，一旦稳定币储备偏离目标权重，则通过动态费用函数将曲率引入交易函数中。

在下图中，我们看到了这些协议如何根据交易活动调整其交易函数曲率的示意图。这有效通过增加了对知情交易的反应曲率，来减少逆向选择。目前，大多数曲率调整都是外生的，这需要一个外部预言机来触发曲线变化。

Dodo的协议根据中间价格预言机来调整曲率

此外，这也告诉我们，活跃且具有低曲率CFMM的市场（例如Curve）往往有较少的知情交易。这符合这样一种直觉，即用一种稳定币兑换另一种稳定币的交易者，对未来价格的有用信息较少。

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未来的CFMM设计

这告诉了我们该如何设计CFMM？首先，通过设计CFMM的交易函数，可使用预言机纠正曲率来进行改进。做市商可以有一个动态更新的交易函数，对交易作出反应，以减少LP的无常损失。更新规则可以是纯内生的（与使用预言机的设计不同）和简单的控制机制（类似于DeFi-PID控制器，请参阅我们之前撰写的关于这一主题的文章）。类似的，CFMM曲率的梯度流（例如，类似于著名的Ricci流）可用于自然压平由于高滑点而交易量较低的区域。

不幸的是，无法通过分析来设计此类CFMM。这需要通过模拟具有不同数量信息，以及与LP互动的策略的多个agent代理来设计这种形式的实用CFMM。此外，如果我们看到在高频交易中经常会发现的复杂性，那么我们应期望动态LP策略将成为未来的规范。这些策略对曲率和逆向选择的影响，也需要通过基于agent的模型进行建模。

我们要感谢James Prestwich 和Ciamac Moallemi提供的宝贵意见和建议。