注：

研究者认为，即使Uniswap流动性提供者（LP）在每一笔套利者交易中都经历亏损，但在某些情况下，由于波动性收获，他们仍然能比单纯持币的表现更好，在这种情况下，手续费设置应尽量接近于零，而不应为零，以尽可能多地进行再平衡。

原文作者是来自投资机构Paradigm的研究人员Dave White、Martin Tassy、Charlie Noyes以及Dan Robinson，他们也是Uniswap的种子轮投资方。

在无情的套利下，Uniswap LP反而变得富有（来源）。

一、问题

10月14日，Charlie Noyes在Twitter上贴出了一个他与Dan Robinson一直在争论的问题：

“对于任何Uniswap资产对，最佳的费用是多少？这种最优的费用，能否击败一个未平衡的投资组合，实现去除无常损失，甚至超额增长？”

1、1 背景

自动化做市商（AMM）是一类去中心化交易所，它允许客户在像USDC和ETH这样的链上资产之间进行交易。而Uniswap是以太坊上最流行的AMM，与大多数资产管理系统一样，Uniswap通过持有两种资产的储备来促进特定资产对之间的交易。它根据其储备金的规模来确定它们之间的交易价格，从而使价格与更广泛的市场保持一致。

任何愿意加入某一对资产池的人，我们称他们为流动性提供者，或简称为LP，这些人会同时向两个储备资产贡献资产，他们要承担部分交易风险，以换取部分手续费回报。

1、2 设置的问题

该资产池在稳定币与价格随机变动的风险资产之间提供流动性，我们还做出了一个特别残酷的假设，即所有进入池子的交易都是知情的（套利交易仅在AMM的价格与正常交易价格之间出现偏移时才会发生）。

换言之，整个池子在每次交易后都会经历亏损。

1、3 传统思维

乍一看，在这种情况下，成为Uniswap LP似乎是一个代价高昂的错误。

由于做市商要求买入的价格要低于卖出的价格，因此当资产价格不动时，他们直接获利，他们得到的买入和卖出量大致平衡。这些交易通常被称为“不知情”交易，因为它们与短期价格走势无关。

另一方面，做市商在价格下跌之前买入资产，或在价格上涨前卖出，都会亏损。因此，做市商最害怕的交易对手之一就是套利者，他们只有在价格发生变化时才会来交易，并将做市商抛在身后。套利者所执行的每笔交易，对其而言都是纯利润，而对于做市商来说则是纯亏损。

由于在我们的Uniswap问题设置中没有不知情的交易（实际上，我们假设了每一笔交易都是套利交易），因此，LP显然会经历非常大的损失。

1、4 挑战

然而，Dan和Charlie 认为这个故事并没有到此为止。

他们怀疑，对于某些潜在的价格动态而言，成为Uniswap LP仍然是有意义的。

他们将这个问题抛给了数学金融领域的传奇人物Steven Shreve，然后在Twitter上公布了这个问题，Martin Tassy和我独立地提出了部分解决方案，然后合作将完全的解决方案扩展到通用情况。

在接下来的几个星期里，我们四个人花了一些时间通过电报讨论结果，寻找错误，建立我们的直觉，而这些讨论正是这篇文章的基础。

二、解决方案

如果一项资产的波动性相对于其平均回报率足够高，那么随着时间的推移，Uniswap上的LP将比囤币者（HODLer）的表现更好，即使是在所有交易都是套利交易的情况下。

这是由于一种称为“波动性收获”的现象造成的：在某些条件下，通过周期性地对两种资产进行再平衡，它们的表现有可能超过任何静态投资组合。在这种情况下，“再平衡”是指进行交易，使每项资产中持有的总资产组合价值的比例返回到固定的配置，例如50/50。

因此，当LP被套利时，他们基本上会向市场支付一笔费用，为他们重新平衡投资组合。在这个特定的数学环境中，当这种再平衡是有益时，你就要尽可能多地这样做。这意味着流动性提供者应将其费用设置为尽可能低而不为零。

这对于Uniswap来说是个好消息，因为这意味着即使在套利交易占主导的情况下，仍然可以享受低廉的费用，这使Uniswap在链上订单不断增加并开始提供更小的价差时保持竞争力。

也就是说，值得重复的是，这些结果适用于非常特殊的程式化数学设置，其中涉及的假设与Black-Scholes期权定价模型非常相似。为了数学上的方便，我们还假设了一个不同于Uniswap生产中使用的费用结构。

2、1 对照标准

我们通过比较它们的渐进式财富增长率来评估不同的策略，这些增长率衡量它们在长期内复合（或损失）价值的速度。

这个数量是很重要的，因为随着时间的推移，优化它的策略比几乎不确定的策略执行得更好。

我们将所有策略与“未平衡投资组合”进行比较，后者的一半价值是稳定币，另一半则是风险资产，在这之后再也不会改变。这也是衡量AMM中所谓的“无常损失”的社区标准。

不管发生什么，未平衡的投资组合总是持有相同数量的稳定币，这意味着，在最坏的情况下，当风险资产失去其全部价值时，未平衡的投资组合将几乎完全由稳定币组成，因此从长期来看增长率将为零。

另一方面，如果风险资产呈指数增长，它将很快成为未平衡投资组合的主导，因此其增长率与风险资产相同。

值得注意的是，两个投资组合可以共享相同的渐进式财富增长率，而在近距离表现上却截然不同。例如，如果风险资产的增长率为零，那么零费用的Uniswap的股份价值将始终低于未平衡的投资组合，但由于预计随着时间的推移，两者都不会复合增长或亏损，因此两者的财富增长率都将为零。

2、2 波动性阻力（Volatility Drag）

50%损失/75%收益过程中的波动阻力（来源）。

要理解这些结果，首先要理解波动性阻力（volatility drag）的概念。假设我们的风险资产，其价格每年要么下跌50%，要么上涨75%，并且两者发生的概率相等。

在任何一年，如果我们投资该资产100美元，我们的期望值是（50+175）/2=112.5 美元。如果我们简单地买入并持有，则我们的投资组合的预期价值将逐年增加12.5%，这似乎是个不错的交易。

不幸的是，在现实世界中，我们的利润不会实现。如果我们购买并持有这种证券，我们最终将失去一切。

这是因为，随着时间的推移，财富的复合会带来灾难性的损失。

如果我们一年损失50%，然后下一年增长75%，那我们最后拥有的只有投入时的87.5%（即50% * 175%）。

随着时间的推移，大数定律会保证我们的收益为每年 -15%，那我们将不可避免地破产。

2、3 等等，发生了什么？

如果你受过从期望值的角度分析**的训练，那么前一节很有可能看起来非常奇怪，甚至可能完全不正确。

实际上，一个多星期前，我们有了这个问题的完整的、闭合式的数学解，在此之前我完全不知道它在直觉上意味着什么。

究其根源在于：期望值是一个理论量，它衡量了如果我们在无数平行宇宙中同时复制给定的博弈，将会发生什么。

但现实并非如此，每次博弈我们只有一次机会，而我们所进行的博弈的效果不是瞬间的，而是随着时间的推移而复合的。

我们可以从另一个角度来看待它，以帮助调和数学。随着我们不断重复（-50%/ + 75%）博弈，每次都将资金再投资，只有极少数的路径是正确的，从而产生了天文数字的回报。

随着时间的推移，这些路径在所有可能的路径中所占的比例越来越小，而我们真正看到其中一条路径实现的机会也会缩小到零。

2、4 再平衡的价值

面对波动性阻力，即使在预期值为正的情况下，也要将部分资金储备起来。这样，当事情出了问题时，你的损失就会减少，从长远来看，这会增加你的复合财富。

就交易而言，所有这些都会产生一些相当熟悉的概念。当价格上涨时，有时平仓部分头寸以锁定利润，以防价格再次下跌。当价格下跌时，有时，为了以一个有利的价格获得预期的未来回报，抄底是有意义的。

在某些情况下，比如这一次，最佳策略是不断地重新平衡你的投资组合，这样你在每一个头寸上总是有固定比例的财富投资，比如说，一半稳定币，一半风险资产。这并不总是最佳的平衡，一般来说，你希望投资组合中的风险资产越多，其回报率相对于其波动性越高，但我们将进一步的探索推迟到未来的工作。

对长期财富增长进行再平衡的好处可能是巨大的，可能意味着指数级财富增长和破产之间的区别。即使在我们设置的背景下，每一笔再平衡交易的价格都很不利，并造成瞬时损失，这也是事实。

2、5 资源

很有可能你对这些解释感到不满意，并想了解更多。

你可以先回顾一下凯利公式，这是一个基于这些原则的理论上最优的投注策略。@wpoundstone的《财富公式》是一本备受推崇且易于阅读的关于凯利公式历史和含义的书籍。

另一方面，对于财富增长数学的深入研究，我强烈推荐@ole_b_peters的遍历性经济学课堂讲稿或他在《自然》杂志上发表的文章。

如果你选择要自己研究，那你一定要小心，这是一个鲜为人知的领域，在我自己的研究过程中，我发现很多资料来源都有错误，这使我的理解倒退了数小时或数天。

特别是，如果你看到有人呼吁均值回归或对数效用函数，我建议你不要停留，继续前进。这一领域的关键结果不需要假设任何特定的收益分布或效用函数。

2、6 费用炼金术

在这种设置下，什么时候成为LP是有益的，LP应尽可能经常地重新平衡，以最小的成本促进再平衡？

（收费应尽可能低，而不应该为零，以便通过日益微小的价格变动触发再平衡。Dan Robinson 称之为“在量子泡沫中捡拾便士”。）

然而，当费用完全为零时，再平衡的所有好处都会消失，而且在大多数情况下，LP的境况比他们仅仅持有未平衡投资组合的情况更糟糕。

理解这一看似反常的现象，有助于揭示问题的其余部分。

Uniswap使用“恒定乘积”不变量，这意味着在不收取费用的情况下，每笔交易都必须保持储备金余额的乘积不变。我们将此表述为，尽管已熟悉Uniswap的读者可能更习惯于将其写成 x*y = k。

然而，事实证明，为了实现再平衡，这种乘积C的数字必须增加，以便为我们提供超额的财富增长。

为什么C是如此重要的？我们说 是我们的储备金余额Ra和Rb的几何平均数。与算术平均数一样，几何平均数随着储备量的增加而增加。然而，与算术平均数不同的是，几何平均数随着储备量的失衡而缩小，即使它们的算术平均数保持不变。

在不收取任何费用的情况下，C是恒定不变的，因此交易总是导致更大的储备或更平衡的储备。这两者从来不会同时存在，因此，财富增长没有动力。

然而，在现实世界的Uniswap，或我们设置的环境中，非零费用保证了每次交易C都会增加。随着时间的推移，这意味着储备金不仅在增长，而且还保持平衡，这提供了上面讨论过的好处。

要了解这是如何计算的精确数学，请参阅Martin和我的证明论文的3.1部分。

三、数学

说了这么多，我们现在可以准确地回答Charlie最初问题陈述中提出的问题。

重申一下，他们关注的是Uniswap风格AMM的财富增长率G，其中百分比费率影响稳定币和波动资产（以几何布朗运动波动，并带有参数 漂移和波动性）之间的市场。

3、1 LP财富增长率

3、2 最优费用和超额回报

当且仅在以下情况下时，作为一名LP持有一半稳定币和一半风险资产的收益，要超过单纯持币：

在这种情况下，LP应将他们的费用设置为尽可能低但不为零，他们将实现财富增长率逐渐接近

3、3 解释

由于几何布朗运动模拟复合增长，它们也受到波动性阻力的影响，其在数学上表示为，财富增长率为：

这意味着，在范围内，成为Uniswap的LP，要比的HODL增长率更有意义。

这给了我们一个观察结果的视角：再平衡使我们能够部分抵消基础资产的波动性阻力。如果没有波动性阻力，平均回报也为零或负，那么再平衡的数量也将无济于事。尽管重新平衡后的投资组合仍会比仅仅持有资产本身做得更好，我们最好还是只持有稳定币。

另一方面，如果没有波动性阻力的平均收益为正：

1. 如果波动性阻力使资产损失超过其平均对数回报的200%，那么在Uniswap上进行再平衡将无法消除足够多的阻力，那你最好还是持有稳定币。

2. 如果波动性阻力使资产损失低于其平均对数回报的66%，那么在Uniswap上进行再平衡是不值得的，你最好还是简单地持有资产。

3. 在这个范围内，成为Uniswap LP最终会让你变得富有，事实上，要比你持有任何稳定币和波动资产组成的未平衡投资组合更富有。这既包括一些最终将变得一文不值的资产，也包括一些将呈现抛物线增长的资产。

3、4 证明

关于完整证明的预印本论文你可以在这里找到。它的工作原理是为离散随机游走建立动力学模型，然后在将步长缩小到零时采取行为限制。

你也可以查看我为零对数漂移情况的原始证明，并在此处进行一些问题模拟。

3、5 我们应该对这些研究结果给予多少信任？

在我个人看来，这是非常可信的。

我们有两种独立的证明方法，而它们在域重叠时会产生相同的结果。我们还有一些模拟可以验证我们的预测：

模拟与预测的财富增长率（来源）。

尽管如此，这仍然是一个非常令人困惑的领域，在过去的几周中，我对它的理解已经发生了许多次变化。如果你确实发现了错误，请随时与我们联系。

四、 未来的工作

尽管我们希望你同意这些研究结果在理论上是有趣的（或者是令人发疯的），但仍有大量的工作要做，以确定它们与现实世界的相关性。

例如，我们的许多假设可以修改或扩展：

1. 如何将这些结果转化为多资产案例，或者什么时候LP可以选择像Balancer那样的50/50以外的比例来重新平衡？

2. 当我们不再允许每单位时间进行无限交易时会发生什么？

3. 当我们引入交易成本，而其甚至可以变化以反映优先gas拍卖动态时，会如何呢？

还有一些实证问题：

1. 我们能为今天市场上的证券类交易估计这些参数吗？

2. 有多少积极交易的代币，可以从我们描述的这种再平衡策略中受益？

3. 我们能否确定由于波动性收益而在现实中实现Uniswap LP回报的比例是多少？

最后，也许是最有趣的是。我们如何才能将在此学到的知识用于改进现有协议，是创建一个新的协议，还是作为一个整体来发展DeFi生态系统？