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“ 区间估计,是点估计外,另一种重要的参数估计的方法。”
之前的统计学系列文章中,我们介绍了《总体样本与统计量》、《卡方分布、t分布等抽样分布》、《极大似然估计与参数估计》等内容。其中矩估计和极大似然估计都属于点估计。今天我们分享一下区间估计的概念和方法。
首先介绍一下置信区间和枢轴变量的概念。
之前的文章中介绍过区间估计的定义,就是给出的参数估计是个区间,比如某省人的平均身高是160cm~173cm之间。这就是一个区间估计。
很容易想象到,估计的区间越小,越精准。但是明显,相应的,真实参数值落在区间里的概率也就越小了。这是矛盾的,两者不可得兼,需要平衡。
因此,区间估计时,两个参数很重要:区间长度和参数落在区间的概率(即置信度)。即:
P(θ1≤θ≤θ2)=1-α
区间 [ θ1,θ2 ] 就是要估计的区间,1-α就是置信度。为啥用1-α呢?因为后面α会用到。
枢轴变量是整个区间估计的核心,但概念稍微难理解一些。
首先看看定义:从θ的一个点估计出发,构造与θ相关的一个函数G,使得G的分布是已知的,而且与θ无关。通常称这种函数为枢轴变量。
通俗点讲,其实枢轴变量就是一个函数,这个函数的目的是把目前未知的分布转化成我们已知的分布(比如正态分布、卡方分布、t分布等)。
转化成已知分布干嘛呢?因为已知分布中,概率密度函数是已知的,因此可以基于置信度求得已知分布的区间。已知分布的区间知道了,再根据构造的枢轴变量,反推要估计的区间,即完成了区间估计的过程。
这里我们先按照比较容易的情况(一个正态总体)为例,看看如何进行区间估计。
既然是一个正态总体了,所以要进行区间估计的参数无非两个:均值和方差。首先,有下面的概况表:
啥意思呢?对于总体均值和方差,无非有以下几种情况。针对不同情况,我们需要构造不同的枢轴变量,因此也服从了不同的分布。(细心的朋友应该能发现,这些枢轴变量在《抽样分布》中,我们介绍过。当初大家可能不理解,他们的作用其实主要就是用在区间估计)
在这种情况下,我们构造的枢轴变量是:
这个服从标准正态分布。为啥用这个函数作为枢轴变量呢?仔细看内容便知道,函数共有4个参数:样本均值X(已知,可以用过样本求出来),总体均值μ(未知,是我们要估计的参数),样本标准差σ(已知,可以通过样本求出来),样本量n(已知,即样本个数)。
因此,只有总体均值μ未知。而右侧的分布是已知的,那我们就可以用右侧正态分布的特征求出来总体均值的区间:
在这种情况下,我们构造的枢轴变量是:
对,这个枢轴变量之前也介绍过。为啥构造这个枢轴变量呢?如果理解了上面的例子,就很容易理解这个了。因为总体方差是未知的,而(1)中用到了总体方差,所以就出现了两个未知变量(总体方差和总体均值),所以就没法求了。
而这里构造的服从t分布的枢轴变量,包括的四个参数,有三个是已知的,只有总体均值是未知的,所以可以利用t分布求总体均值的区间估计。
具体的估计范围不写了,直接看上面黑板截图的内容即可。
这种情况下构造的枢轴变量是:
道理和上面两个例子一样,就不展开了。具体的区间估计范围也是参照黑板截图。
最后一种情况,构造的枢轴变量是:
这里和(3)中的枢轴变量的唯一差别,是括号中减的是样本均值还是总体均值。如果是样本均值,则服从自由度是n-1的卡方分布;如果是总体均值,则服从自由度是n的卡方分布。
关于区间估计的内容,就先分享这些。后续分享统计学中假设检验相关的内容,欢迎继续关注。
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