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离散型随机变量的概率分布
2020-09-01 14:25:00

这一小节我们一起学习几个离散型随机变量里的特殊的概率分布:几何分布、二项分布和泊松分布。

几何分布

乘风破浪的姐姐最近正在热播,还记得万茜小姐姐第一次个人solo的那段吉他弹唱吗?第一次她在台上弹错了,第二次虽然也有失误,但算是完整地弹了下来,假定她没有失误完成弹唱的概率是0.2,可以彩排两次,试一次或者两次就能成功的概率是多大?(如果第一次直接成功,则不进行第二次)

这是个概率的问题,还记得上一小节的内容吗?可以画个图来理解下这个问题。


已知:

P(X=1) =P(第一次成功) = 0.2

即第一次弹唱就能成功的概率是0.2。

如何求第一次没成功第二次才成功的概率呢?就是:

P(X=2) = P(第二次成功且第一次失败) = 0.2 x 0.8 = 0.16

回到问题本身,她试弹一次或者两次就能成功的概率是多少呢?加一起:

P(X=1) + P(X=2) = 0.36

这是假设她试弹不超过3次的前提下成功的概率,那如果要求她试弹10次,100次呢?一个一个算也是可以的,但未免太麻烦了些,通过前人一次一次算的过程中总结的规律,得到了几何分布的概率可以用如下公式快速计算:


p是成功的概率,q是失败的概率(1-p),结合到我们的案例里,p就是0.2,q就是0.8,有了这个公式,就不用我们一个一个算就能得出一个一劳永逸的方法了。

回过头来我们再想一下这个案例有什么特点,也就能得出符合什么条件可以使用几何分布了:

  • 进行一系列相互独立的试验

  • 每次试验可能成功,也可能失败,且单次试验成功的概率相同

  • 我们研究的主要是为了取得第一次成功需要进行多少次试验

代入到这个案例里就特别明显了,每次弹唱彩排都是相互独立的,每次弹唱可能成功也可能失败,且单次成功的概率都是0.2,而我们重点关心的则是首次成功需要进行多少次试验

下面是几何分布的形状,可以看出来,其实仅尝试一次就成功的概率是最大的。

几何分布
总结一下

二项分布

假设总共有5个单选题,每个问题都有4个选项,每回答对一题的概率是0.25,回答对1到题的概率是多少呢?

回答对一道题有3种情况:

  • 第一题答对,第二题第三题答错,概率是:0.25x0.75x0.75

  • 第一题答错,第二题答对,第三题答错,概率是:0.75x0.25x0.75

  • 第一题答错,第二题答错,第三题答对,概率是:0.75x0.75x0.25

归纳一下,P(X=1) = 3x0.75^2x0.25
这是回答对1道题,那么回答对5道题,r道题呢?

类似上述这种单选题一样包含两个结果(答对或答错)的试验其随机变量服从的分布就是二项分布,它们的特征可总结如下:

  • 一系列独立试验

  • 每次试验可能成功,也可能失败,且单次试验成功的概率相同(同几何分布)

  • 试验次数有限

满足二项分布模型后,X表示n次试验中的成功次数,如果要求成功r次的其概率可以用如下公式快速计算:


其中,

它的形状是这样的,可以看出图形比较对称。

对比几何分布

相同:

  • 都是独立试验

  • 每次试验都有成功或失败

不同:

  • 几何分布:取得首次成功前要试验多少次

  • 二项分布:试验次数固定,求成功次数的概率

泊松分布

在一定时间范围内或指定面积/体积内某一事件出现的次数的分布,就属于泊松分布。

比如某企业每月发生事故的次数,单位时间内到底某一柜台的客户人数。

这与几何分布、二项分布不同,它没有一系列的试验,它是已知某一事件在特定区间内的平均发生次数,求发生r次事件的概率,符合泊松分布的条件是这样的:

  • 单独事件在给定时间/空间内随机、独立地发生

  • 已知该时间/空间内的事件发生率 入

满足泊松分布后,X表示给定区间内事件发生次数,发生率为 入,那么求给定区间内发生r次事件的概率就可以用如下公式计算:

泊松分布的形状取决于入的值,入越小,分布越向右偏斜,随着入变大,分布会月对称:

比如某企业每月发生事故的次数是3.4次,要求下周不发生事故的概率,不发生事故的意思就是X=0,那么:


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